Vorbereitung für die
Oberstufe
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Vorbereitung für die Oberstufe |
I N H A L T S V E R Z E I C H N I S
A WIEDERHOLUNG
1.
Prozentrechnung
2.
Zinsen- und
Zinseszinsrechnung
3. Verhältnisse
und Proportionen
B
DIE REELLEN
ZAHLEN
1.
Die Menge der reellen Zahlen
2.
Gemischt
periodische Dezimalzahlen
3. Rechnen mit Quadratwurzeln
a)
Addieren und Subtrahieren
b)
Multiplizieren und
Dividieren
c)
Teilweises Wurzelziehen
d)
Einen Faktor „unter die
Wurzel bringen“
e) Nenner rational machen
C
TERME
1. Addieren
und Subtrahieren von Termen
2. Multiplizieren
von Termen
3. Dividieren
durch Terme
4. Multiplikation
von Summen und Differenzen
5. Die
binomischen Formeln
6. Dritte
Potenzen von Binomen
7. Herausheben
und Zerlegen von Termen
D
1. LINEARE
GLEICHUNGEN MIT
EINER UNBEKANNTEN
2.
GLEICHUNGEN MIT
ALLGEMEINEN KOEFFIZIENTEN
E
LÖSEN
VON UNGLEICHUNGEN
F RECHNEN MIT
BRUCHTERMEN
1. Kürzen
von Bruchtermen
2. Addieren
und Subtrahieren von Bruchtermen
3. Multiplizieren
von Bruchtermen
4. Dividieren
durch Bruchterme –
Doppelbrüche -
Division mehrgliedriger Ausdrücke (Polynome)
G GLEICHUNGEN MIT BRUCHTERMEN – BRUCHGLEICHUNGEN
H
ARBEITEN MIT FORMELN
(Umformen von Formeln)
I
FUNKTIONEN
AUFSTELLEN VON LINEAREN FUNKTIONSGLEICHUNGEN
J LINEARE GLEICHUNGEN MIT ZWEI UNBEKANNTEN
Textbeispiele - Gleichungen mit allgemeinen Koeffizienten (Formvariablen)
K
DER PYTHAGORÄISCHE
LEHRSATZ
1.
Anwendung bei Berechnungen von ebenen Figuren
2.
Der Kathetensatz
und der Höhensatz
L
PRISMEN
UND PYRAMIDEN
M
KREIS UND
KREISTEILE
N
DER DREHZYLINDER
O
DER DREHKEGEL
P
DIE KUGEL
Wiederholung
Im Angabenbuch steht:
16) Nach 11 Jahren wird ein Guthaben von 65 000 €
abgehoben. Der Zinsfuß
beträgt 6 %. Berechne die
effektiven Zinsen und das Anfangskapital K0!
Wiederholung
Im Lösungsbuch steht:
16) Nach 11 Jahren wird ein Guthaben von 65 000 €
abgehoben. Der Zinsfuß
beträgt 6 %. Berechne die
effektiven Zinsen und das Anfangskapital K0!
K11 = 65
000 €
6 % . 0,75 =
4,5
%
p =
6 %
t =
11 J.
K0
= ? €
K11
= K0
. 1,04511
K11 : 1,04511 =
K0
65 000
: 1,04511 =
K0
40
052,92 ≈ K0
Zeff =
K11 - K0
= 65 000
- 40 052,92
=
24 947,08
Die effektiven Zinsen betragen
24 947,08 €,
das Anfangskapital K0
beträgt 40 052,92 €.
Wiederholung
Im Angabenbuch steht:
Mach bei
folgenden Beispielen auch die Probe:
x
= 2
q)
6 x – [3 x + 11 –
(2 x + 1) + 7] =
Im
Lösungsbuch steht:
Mach bei folgenden
Beispielen auch die Probe: x
= 2
q) 6 x –
[3 x + 11 – (2 x + 1)
+ 7]
=
= 6 x –
[3 x +
11 - 2 x –
1 + 7] = (Fasse alle gleichen Terme in der Klammer
zusammen!)
= 6 x – [
x +
17 ] =
6 x - x -
17 =
5 x –
17
Probe:
AT :
6. 2 – [3. 2 +
11 – ( 2. 2 + 1) + 7
] =
= 12 - [
6 + 11
- ( 4
+ 1) + 7 ]
=
= 12 - [ +
17 -
(+5 ) +
7 ]
= 12 - [+19 ] = 12 - 19
= - 7
ET :
5. 2 - 17
= 10 – 17
= - 7
Im Angabenbuch steht:
11) Die Gerade g
ist durch 2 Punkte C (1 / - 3) ,
D (3 / 5) festgelegt.
Stelle die Funktionsgleichung
auf und kontrolliere, ob die
Punkte auf g liegen!
Im
Lösungsbuch steht:
11) Die Gerade g
ist durch 2 Punkte C (1 / - 3) ,
D (3 / 5) festgelegt.
Stelle die Funktionsgleichung
auf und kontrolliere, ob die
Punkte auf g liegen!
Funktionsgleichung:
y =
k . x +
d
I. - 3 =
1.
k + d / . (-1)
I. - 3
= 4
+ d
II.
5 =
3 . k +
d
- 3 -
4 = d
+ 3 =
- 1 . k - d
- 7
= d
5
=
3 . k +
d
8 =
2 k / : 2
4
= k
Funktionsgleichung:
y =
4 . x
- 7
Im Angabenbuch steht:
18) (4x - y)³
- (2x
+ 3y)³ +
(5x – 2y)³ =
Probe:
x =
1, y = 2
Im Lösungsbuch steht:
18)
(4x - y)³ -
(2x + 3y)³
+ (5x – 2y)³ =
Probe: x
= 1, y =
2
= 64x³
- 48x²y
+ 12xy²
- y³ - 8x³ -
36x²y -
54xy² -
27y³ +
+ 125x³ -
150x²y +
60xy² -
8y³ = 181x³
- 234x²y
+ 18xy²
- 36y³
Probe : AT:
(4 - 2)³ -
(2 + 6)³
+ (5 – 4)³
= 2³
- 8³ + 1³
=
= 8
-
512
+
1
= - 503
ET: 181 . 1³ -
234 . 1² . 2 +
18 . 1 . 2² - 36
. 2³ =
= 181
-
468
+
72
-
288 =
- 503
Im Angabenbuch steht:
16) Ermittle
die Unbekannte (Variable) und führe die Probe aus!
3x – 5
+ x
+ 5
=
13x – 20
8
4
12
Im Lösungsbuch steht:
16) Ermittle
die Unbekannte (Variable) und führe die Probe aus!
3x – 5
+ x
+ 5
= 13x – 20
/ . 24
8
4
12
(3x – 5) . 3
+ (x + 5) . 6
=
(13x – 20) . 2
9x –
15 +
6x +
30 =
26x -
40
15x +
15 =
26x -
40
15 + 40
=
26x -
15x
55
= 11x
/ : 11
x
= 5
Probe:
LS: 15
– 5 +
5 + 5 = 10 +
10 =
1,25 +
2,5 = 3,75
8
4 8
4
RS:
65 -
20 =
45 =
3,75
12
12
Im Angabenbuch steht:
29)
Die Hunderterziffer einer dreistelligen Zahl ist um 1 kleiner als die
Zehnerziffer, die Einerziffer ist um 1 größer als die Zehnerziffer.
Vertauscht man die Hunderter – und
die Zehnerziffer, so entsteht eine neue
Zahl, die um 156 kleiner ist als das Dreifache der ursprünglichen Zahl.
Berechne
die ursprüngliche Zahl und die neue Zahl! (Mach
eine Tabelle!)
Im Lösungsbuch steht:
29)
Die Hunderterziffer einer dreistelligen Zahl ist um 1 kleiner als die
Zehnerziffer, die Einerziffer ist um 1 größer als die Zehnerziffer.
Vertauscht man die Hunderter – und
die Zehnerziffer, so entsteht eine neue
Zahl, die um 156 kleiner ist als das Dreifache der ursprünglichen Zahl.
Berechne
die ursprüngliche Zahl und die neue Zahl! (Mach
eine Tabelle!)
. 100
. 10
H Z
E
Zahl
urspr. Z.
x - 1
x
x + 1
100. (x – 1) + 10 . x + (x + 1)= 100x
– 100 + 10x + x + 1=111x - 99
neue Z. x
x – 1
x + 1 100
. x + 10 (x – 1) + (x + 1) = 100x + 10x – 10 + x + 1 = 111x - 9
ursprüngliche Zahl
neue Zahl
(111x -
99) . 3
= 111x
- 9
+ 156
333x - 297
= 111x
+ 147
333x -
111x =
147 +
297
222x
= 444
/ : 222
x
=
2
Die ursprüngliche Zahl heißt
123, die neue Zahl heißt 213.
Probe: Das Dreifache
der ursprünglichen Zahl: 123
. 3 =
369.
Die neue Zahl
213 ist um 156 kleiner als das Dreifache der
ursprünglichen Zahl: 213 + 156
= 369!
stimmt!!!!
Im
Angabenbuch steht:
30) Rechne! Vereinfache so weit wie möglich!
Bestimme
auch die Definitionsmenge D! Mach die Probe:
x =
2
6 -
2
+ 3
=
x³ - x²
2x – 2
3x + 3
Im Lösungsbuch steht:
30) Rechne! Vereinfache so weit wie möglich!
Bestimme
auch die Definitionsmenge D!
Mach die Probe:
x =
2
6
- 2
+
3
=
x³ - x²
2x – 2
3x + 3
=
6 . 2 . 3 (x
+ 1)
-
2 . 3
. x² (x + 1)
+ 3 .
2 . x² (x – 1)
=
2 . 3 . x² (x – 1) (x + 1)
2 . 3 . x² (x – 1) (x + 1)
2 . 3 . x² (x – 1)
(x + 1)
= 36x
+ 36 – 6x³ - 6x² + 6x³ - 6x²
=
- 12x² + 36x + 36
=
2 .
3 . x² (x – 1) (x + 1)
2
. 3 . x² (x – 1) (x + 1)
=
12
(- x² + 3x + 3)
=
2 (- x² + 3x + 3)
2 . 3 . x² (x – 1) (x + 1)
x² (x² - 1)
x³ - x² =
x² (x – 1)
2x
– 2 =
2 (x – 1)
Pr.: AT: 6
-
2 +
3 =
3x + 3
= 3 (x + 1)
8 – 4 4
– 2
6 + 3
kgV: 2 . 3 . x² (x
– 1) (x + 1)
= 6
- 2 + 3
= 54 – 36 + 12
= 30 =
5
4 2 9
36
36
6
x³
- x² ≠
0
2x – 2
≠
0
ET: 2
( - 4 + 6 + 3)
=
2 . 5 = 10
= 5
x² (x – 1) ≠
0
2x - 2 ≠
0
4 (4 – 1)
4 . 3
12
6
x ≠
0
2x ≠ 2
x ≠
1 x
≠ 1
3x
+ 3 ≠
0
3x ≠ - 3
x
≠ - 1
D = R \
{ ± 1 ; 0 }
Im Angabenbuch steht:
23) Ermittle
die Lösungsmenge! Mach
auch die Probe!
(Ich löse mit Hilfe des Additionsverfahrens!)
I. 3x
+ 2y -
43
= 3x
- y
4
3
24
2
8
II. x -
3y =
x -
2y -
109
3
5
2
10
30
Im Lösungsbuch steht:
23) Ermittle
die Lösungsmenge! Mach
auch die Probe!
(Ich löse mit Hilfe des Additionsverfahrens!)
I. 3x
+ 2y -
43
= 3x
-
y
/ . 24
4
3
24
2
8
II. x -
3y =
x -
2y -
109
/ . 30
3
5
2
10
30
I.
18x +
16y - 43
= 36x
- 3y
Ordnen !
II.
10x -
18y = 15x -
6y -
109
I.
- 18x +
19y =
43
/ . 12
II.
- 5x
- 12y =
- 109 /
. 19
- 216x + 228y = 516
- 95x -
228y =
- 2 071
-
311x =
- 1 555
/ : (- 311)
x =
5
II.:
5
- 3y
=
5
- 2y -
109
/ . 30
3
5
2
10 30
50
- 18y =
75 - 6y -
109
50
- 18y
= - 34
- 6y
50 + 34
= - 6y
+ 18y
84 =
12y /
: 12 L = { 5 / 7 }
7 =
y
Probe :
I.: LS :
15
+
14
- 43
= 90
+ 112
- 43
= 159
= 53
4
3 24
24 24
24
24
8
RS:
15 -
7 =
60 -
7
= 53
2 8
8
8
8
II.:
LS:
5
- 21
=
25 -
63 =
- 38
3 5
15
15
15
RS: 5
- 14
- 109
= 75
- 42
- 109
= - 76 =
- 38
2
10 30
30
30 30
30
15
Im Angabenbuch steht:
61)
Verkürzt man die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks um 16 cm
und verlängert man die andere um 12 cm, so entsteht ein rechtwinkliges
Dreieck mit gleich
langer Hypotenuse, aber einen um 56
cm² kleineren
Flächeninhalt.
Berechne die Längen der Katheten und die Länge der Hypotenuse des ursprünglichen
Dreiecks!
Im Lösungsbuch steht:
61)
Verkürzt man die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks um 16 cm
und verlängert man die andere um 12 cm, so entsteht ein rechtwinkliges
Dreieck mit gleich
langer Hypotenuse, aber einen um 56
cm² kleineren
Flächeninhalt.
Berechne die Längen der Katheten und die Länge der Hypotenuse des ursprünglichen
Dreiecks!
I.
a²
+ b²
= (a
+ 12)²
+ (b - 16)²
II.
a
. b
= (a
+ 12) . (b
- 16) +
56
/ . 2
2
2
I.
a² +
b² = a²
+ 24a
+ 144 +
b² -
32b +
256 Ordnen!!!
II.
ab =
ab + 12b
- 16a
- 192 +
112
I.
- 24a +
32b = 400 / . 2
II.
a . 20
=
(a + 12) . (20 – 16)
+ 56
/.2
II.
16a
- 12b =
- 80 / . 3
2
2
- 48a +
64b = 800
20a
= (a + 12) . 4 + 112
48a
- 36b
= - 240
20a
= 4a +
48 +
112
28b =
560 / : 28
20a - 4a =
160
b =
20
16a
= 160
/ : 16
a =
10
a² +
b² =
c²
100
+ 400
= c²
500 =
c²
c
≈ 22,4
Die Katheten sind 10 cm
bzw. 20 cm lang, die
Hypotenuse ist ca. 22,4 cm lang.
Probe:
a²
+ b² = 100 + 400
= 500
c² = 500
(Hypotenuse ist gleich lang!) stimmt!!!
Urspr. Rechteck:
A = (a . b) : 2
= (10 cm² . 20) : 2 =
100 cm²
Neues Rechteck: A
= [(a + 12) cm² . (b - 16)] : 2
= (22 cm² . 4) : 2
= 44 cm²
Unterschied:
100 cm² -
44 cm² =
56 cm²
stimmt!!!
Im Angabenbuch steht:
Löse folgende
Gleichungen nach x und y
auf:
a und b bedeuten: feste reelle Zahlen (Mach immer die Probe!)
3) I.
x +
y =
2a
Im Lösungsbuch steht:
Löse folgende
Gleichungen nach x und y
auf:
a und b
bedeuten: feste reelle
Zahlen
(Mach immer die Probe!)
3) I.
x +
y
= 2a / . (-b)
I. (a
– b)
+ y
= 2a
II.
ax +
by =
a² +
b²
y = 2a -
a +
b
- bx -
by = - 2ab
y =
a + b
ax +
by = a² +
b²
ax -
bx = a² -
2ab +
b²
x (a – b) = (a – b)²
/ : (a – b)
x = a - b
Probe : I.:
LS: (a -
b) +
(a + b)
= 2a
RS:
2a
II.: LS: a . (a
- b)
+ b . (a
+ b)
= a² - ab + ab + b² =
a² + b²
RS: a²
+ b²
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