Vorbereitung für die Oberstufe
Stoff der 4. Klasse AHS - MS
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Vorbereitung für die Oberstufe Stoff der 4. Klasse AHS - MS |
I N H A L T S V E R Z E I C H N I S
A
WIEDERHOLUNG
1.
Prozentrechnung
2.
Zinsen- und
Zinseszinsrechnung
3. Verhältnisse und Proportionen
B
DIE REELLEN
ZAHLEN
1.
Die Menge der reellen Zahlen
2.
Gemischt
periodische Dezimalzahlen
3. Rechnen mit Quadratwurzeln
a)
Addieren
und Subtrahieren
b)
Multiplizieren
und Dividieren
c)
Teilweises
Wurzelziehen
d)
Einen
Faktor „unter die Wurzel bringen“
e) Nenner rational machen
C
TERME
1.
Addieren und
Subtrahieren von Termen
2.
Multiplizieren von
Termen
3.
Dividieren durch
Terme
4.
Multiplikation von
Summen und Differenzen
5.
Die binomischen
Formeln
6.
Dritte Potenzen
von Binomen
7.
Herausheben und
Zerlegen von Termen
D
1.
LINEARE
GLEICHUNGEN MIT
EINER UNBEKANNTEN
2.
GLEICHUNGEN
MIT
ALLGEMEINEN KOEFFIZIENTEN
E LÖSEN
VON UNGLEICHUNGEN
F RECHNEN
MIT
BRUCHTERMEN
1.
Kürzen von
Bruchtermen
2.
Addieren und
Subtrahieren von Bruchtermen
3.
Multiplizieren von
Bruchtermen
4.
Dividieren durch
Bruchterme –
Doppelbrüche -
Division mehrgliedriger Ausdrücke (Polynome)
G GLEICHUNGEN MIT BRUCHTERMEN – BRUCHGLEICHUNGEN
H
ARBEITEN MIT FORMELN
(Umformen von Formeln)
I
FUNKTIONEN
AUFSTELLEN VON LINEAREN FUNKTIONSGLEICHUNGEN
J LINEARE GLEICHUNGEN MIT ZWEI UNBEKANNTEN
Textbeispiele - Gleichungen mit allgemeinen Koeffizienten (Formvariablen)
K
DER
PYTHAGORÄISCHE
LEHRSATZ
1.
Anwendung bei
Berechnungen von ebenen Figuren
2.
Der
Kathetensatz und der Höhensatz
L
PRISMEN
UND PYRAMIDEN
M
KREIS UND
KREISTEILE
N DER DREHZYLINDER
O
DER DREHKEGEL
P DIE KUGEL
Hier sind nur einige Beispiele mit Rechengang angegeben.
Wiederholung
Im Angabenbuch steht:
16) Nach 11 Jahren wird ein Guthaben von 65 000 €
abgehoben. Der Zinsfuß
beträgt 6 %. Berechne die
effektiven Zinsen und das Anfangskapital K0!
Wiederholung
Im Lösungsbuch steht:
16) Nach 11 Jahren wird ein Guthaben von 65 000 €
abgehoben. Der Zinsfuß
beträgt 6 %. Berechne die
effektiven Zinsen und das Anfangskapital K0!
K11 = 65
000 €
6 %
.
0,75
=
4,5 %
p =
6 %
t
=
11 J.
K0
= ? €
K11
= K0
. 1,04511
K11 : 1,04511
=
K0
65 000
: 1,04511
=
K0
40 052,92
≈
K0
Zeff
=
K11 - K0
= 65 000
- 40 052,92
=
24 947,08
Die effektiven Zinsen betragen 24 947,08 €.
Das Anfangskapital
K0
beträgt 40 052,92 €.
Wiederholung
Im Angabenbuch steht:
Mache bei folgenden Beispielen auch die Probe:
x
= 2
q)
6 x – [3 x + 11 –
(2 x + 1) + 7] =
Im Lösungsbuch steht:
Mache bei folgenden Beispielen auch die Probe:
x
= 2
q) 6 x –
[3 x + 11 – (2 x + 1) +
7]
=
=
6 x –
[3 x +
11 - 2 x – 1
+ 7] =
(Fasse alle gleichen Terme in der
Klammer zusammen!)
= 6 x –
[ x +
17 ] =
6 x - x -
17 =
5 x –
17
Probe:
AT :
6. 2 – [3. 2
+ 11 – ( 2. 2 + 1) + 7
] =
= 12 - [
6 + 11
- ( 4
+ 1) + 7 ]
=
= 12 - [
+ 17
-
(+5 )
+ 7 ]
= 12 - [+19 ] = 12 - 19
= - 7
ET :
5. 2 - 17
= 10 – 17
= - 7
Im Angabenbuch steht:
11) Die Gerade
g
ist durch 2 Punkte C (1 / - 3) ,
D (3 / 5) festgelegt.
Stelle die
Funktionsgleichung
auf und kontrolliere, ob die
Punkte auf g liegen!
Im Lösungsbuch
steht:
11) Die Gerade
g
ist durch 2 Punkte C (1 / - 3) ,
D (3 / 5) festgelegt.
Stelle die
Funktionsgleichung
auf und kontrolliere, ob die
Punkte auf g liegen!
Funktionsgleichung:
y =
k . x +
d
I.
-
3 =
1.
k + d / .
(-1)
I. - 3
= 4
+ d
II.
5 =
3 . k
+
d
- 3 -
4 = d
+ 3 =
- 1 . k - d
- 7
= d
5
=
3 . k +
d
8 =
2 k / : 2
4
=
k
Funktionsgleichung:
y =
4 . x
- 7
Im Angabenbuch steht:
18)
(4x - y)³
- (2x
+ 3y)³ +
(5x – 2y)³ =
Probe:
x =
1, y =
2
Im Lösungsbuch steht:
18)
(4x - y)³ -
(2x + 3y)³
+ (5x – 2y)³ =
Probe: x
= 1, y =
2
= 64x³
- 48x²y
+ 12xy²
- y³ - 8x³ -
36x²y -
54xy² -
27y³ +
+ 125x³ -
150x²y +
60xy² -
8y³ = 181x³
- 234x²y
+ 18xy²
- 36y³
= 8
-
512
+
1 = - 503
ET:
181 . 1³
-
234 . 1² . 2 +
18 . 1 . 2² - 36
. 2³ =
=
181
- 468 + 72
- 288
=
- 503
Im Angabenbuch steht:
29)
Die Hunderterziffer einer dreistelligen Zahl ist um 1 kleiner als die
Zehnerziffer, die
Einerziffer ist um 1 größer als die Zehnerziffer.
Vertauscht man die
Hunderter – und die Zehnerziffer,
so entsteht eine neue
Zahl, die um 156
kleiner ist als das Dreifache der ursprünglichen Zahl.
Berechne
die ursprüngliche Zahl und die neue Zahl!
(Mache eine Tabelle!)
Im
Lösungsbuch steht:
29)
Die Hunderterziffer einer dreistelligen Zahl ist um 1 kleiner als die
Zehnerziffer, die
Einerziffer ist um 1 größer als die Zehnerziffer.
Vertauscht man die
Hunderter – und die Zehnerziffer,
so entsteht eine neue
Zahl, die um 156
kleiner ist als das Dreifache der ursprünglichen Zahl.
Berechne
die ursprüngliche Zahl und die neue Zahl!
(Mache eine Tabelle!)
. 100
. 10
H Z
E
Zahl
urspr.
Z.:
x - 1
x
x + 1
100. (x – 1) + 10 . x + (x + 1)= 100x – 100 + 10x + x + 1=111x -
99
neue Z.:
x
x – 1
x + 1
100
. x + 10 (x – 1) + (x + 1) = 100x + 10x – 10 + x + 1 = 111x - 9
ursprüngliche Zahl
neue Zahl
(111x -
99) . 3
= 111x
- 9
+ 156
333x - 297
= 111x
+ 147
333x -
111x =
147 +
297
222x
= 444
/ : 222
x
=
2
Die ursprüngliche Zahl heißt
123, die neue Zahl heißt
213.
Die neue Zahl 213 ist um 156 kleiner als das Dreifache
der
ursprünglichen
Zahl: 213 + 156
= 369!
stimmt!!!!
Im Angabenbuch steht:
Mache bei folgendem Beispiel auch die Probe: x = 3, y = 2
16 x – {5 y + 5 – [3 y – (8 x + 1)]} =
Im Lösungsbuch steht:
Mache bei folgendem Beispiel auch die Probe: x = 3, y = 2
16 x – {5 y + 5 – [3 y – (8 x + 1)]} =
= 16 x – {5 y + 5 – [3 y - 8 x - 1 ]} =
= 16 x – {5 y + 5 - 3 y + 8 x + 1 } =
= 16 x - {2 y + 6 + 8 x } = 16 x - 2 y - 6 - 8 x =
8 x - 2 y – 6
Probe: AT: 16 . 3 – {5 . 2 + 5 – [3 . 2 – (8 . 3 + 1)]} =
= 48 - { 10 + 5 - [ 6 - ( 24 + 1)]} =
= 48 - { 15 - [ 6 - ( + 25 )]} =
= 48 - { 15 – [ 6 – 25 ]} =
= 48 - {15 – [ - 19 ]} = 48 – {15 + 19} = 48 – {34 } = 14
ET: 8 . 3 – 2 . 2 – 6 = 24 – 4 – 6 = 14
Im Angabenbuch steht:
Berechne die Sandmenge , wenn der Sand bis zu 18 cm unter dem Rand
gefüllt wird! Achte auf gleiche Benennung!
Gib das Endergebnis in m³ und dm³
an!
Im Lösungsbuch steht:
Eine quaderförmige Sandkiste ist 2,5 m lang, 1,5 m breit und 50 cm tief.
Berechne die Sandmenge , wenn der Sand bis zu 18 cm unter dem Rand
gefüllt wird! Achte auf gleiche Benennung!
Gib das Endergebnis in m³ und dm³
an!
l = 2,5 m
b = 1,5 m
h = 50 cm - 18 cm = 32 cm =
0,32 mV = ? m³ dm³
V = l . b . h
V = 2,5 . 1,5 . 0,32
V = 1,2 m³ = 1 m³ 200 dm³
Es ist eine Sandmenge von 1 m³ 200 dm³ notwendig.
Im Angabenbuch steht:
Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide beträgt 369 cm², die Mantelfläche
beträgt 288 cm². Berechne die Grundkante a und die Höhe auf a!
Im Lösungsbuch steht:
Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide beträgt 369 cm², die Mantelfläche
beträgt 288 cm². Berechne die Grundkante a und die Höhe auf a!
O = 369 cm² O = G + M /- M
M = 288 cm² O - M = G
a = ? cm 369 - 288 = G
h
a = ? cm 81 = G81 = a²
9 = a
M = 2 . a . h
a / : 2 . a 288 : 2 . 9 = ha16 = ha
Die Grundkante a beträgt 9 cm, die Höhe auf a beträgt 16 cm.
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Mathematik
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