8. Schulstufe (4. Klasse AHS, MS)
I N H A L T S V E R Z E I C H N I S
1. WIEDERHOLUNG
a) Die 4 Grundrechnungsarten und ihre Rechengesetze mit Bruchzahlen2. IRRATIONALE ZAHLEN
Umformen von Formeln
3) Ungleichungen
7.
PRISMEN
(und Textbeispiele)
8. DREHZYLINDER (und Textbeispiele)
10.
KUGEL
(und Textbeispiele)
11. FUNKTIONALE ABHÄNGIGKEITEN
Minimum, Maximum, Mittelwert, Modalwert (Modus), Median, Spannweite
Daten darstellen: Absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit
und prozentuelle Häufigkeit
Diagramme:
Balkendiagramm, Säulendiagramm, Kreisdiagramm, Prozentstreifen
Textbeispiele, Rechengesetze, Gleichungen, Bruchgleichungen,
Lineare Gleichungen in zwei Variablen, Nenner
wurzelfrei machen,
Prozentrechnung, Zinsenrechnung, Dreieck, Trapez,…
Das Übungsprogramm deckt alle Bereiche ab.
Das Übungsprogramm ist eine super Vorbereitung für die nächsthöhere Schustufe. (Oberstufe)
Hier einige Auszüge aus dem Angabenbuch und Lösungsbuch:
Hier sind nur die Übungsbeispiele mit Rechengang angegeben.
Die Einführungsbeispiele - wie in einer Unterrichtsstunde erklärt -
sind im Lösungsbuch unter "Erklärung" zu finden.
Im Angabenbuch steht:
Rechne! Mache beim folgenden Beispiel auch die Probe! Probe: x = 2
(4 x + 3)² + (2 x – 1)² =
Im Lösungsbuch steht:
Rechne! Mache beim folgenden Beispiel auch die Probe! Probe: x = 2
(4
x + 3)² + (2 x – 1)² =
16
x² + 24 x + 9 + 4 x² - 4 x + 1 =
= 20 x² + 20 x + 10
Pr.: AT : (4∙2 + 3)² + (2∙2 – 1) ² =
( 8 + 3)²
+ ( 4
- 1)² =
11² + 3² = 121 + 9 = 130
ET : 20 ∙ 2² + 20 ∙ 2 + 10 = 20 ∙ 4 + 40 + 10 = 80 + 40 + 10 = 130
Im Angabenbuch steht:
Löse die folgende Gleichung nach x auf: a bedeutet: feste reelle Zahl Mache auch die Probe!
3 ∙ (2 x – 4 a) = 2 x + 4 a
Im
Lösungsbuch steht:
Löse die folgende Gleichung nach x auf: a bedeutet: feste reelle Zahl Mache auch die Probe!
3
∙ (2 x – 4 a)
=
2
x + 4 a
6 x -
12 a =
2 x + 4 a
6 x
-
2 x
=
4 a + 12 a
4 x =
16 a
/ : 4
x = 4 a
Probe:
3
∙
(2
∙
4 a – 4 a)
=
2
∙
4 a + 4 a
3
∙ ( 8 a -
4 a)
=
8 a
+ 4 a
3
∙
4 a
=
12 a
12 a = 12 a
Im Angabenbuch steht:
Subtrahiert man vom 6fachen einer Zahl die Zahl 10, so erhält man um 4 mehr,
als wenn man vom Doppelten der Zahl 1 subtrahiert
Im Lösungsbuch steht:
Subtrahiert man vom 6fachen einer Zahl die Zahl 10, so erhält man um 4 mehr,
als wenn man vom Doppelten der Zahl 1 subtrahiert
6 ∙
x – 10
-
4 = (2
x – 1)
∙ 2
Da du auf der linken Seite um
6
x
- 14
=
4 x – 2
4 mehr
hast, musst du
6x – 4x
= -
2 + 14
entweder links
4 wegnehmen,
2x =
12
/ : 2
oder rechts
4 dazugeben!
6 = x
1.
Im Angabenbuch steht:
Die Summe zweier Zahlen ist 45.
Das Das Dreifache der ersten Zahl ist um 3 größer als die zweite Zahl.
Wie heißen die Zahlen?
Im Lösungsbuch steht:
Die Die Summe zweier Zahlen ist 45.
Das
Das Dreifache der ersten Zahl ist um 3 größer als die zweite Zahl.
1. Z.
: x
I.
x + y
=
45
2 . Z. :
y
II.
3
•
x
–
3
=
y
Entweder du
nimmst 3 beim
Dreifachen der 1. Zahl weg
oder du gibst 3
bei der
2. Zahl dazu, damit die
Gleichung stimmt.
I.
y
=
45 – x
II.
y
= 3 x – 3
y
= 3
•
12
- 3
45 – x
= 3 x – 3
y =
36 - 3
45 + 3
= 3 x + x
y =
33
48
= 4 x
/ : 4
12
= x
Die 1. Zahl lautet 12.
Die 2. Zahl lautet 33.
Im Angabenbuch steht:
Ein Saal mit rechteckiger Grundfläche ist 30 m lang, 24 m breit
und
4 m hoch.
Berechne das Verhältnis der Rauminhalte!
Im Lösungsbuch steht:
Ein Saal mit rechteckiger Grundfläche ist 30 m lang, 24 m breit
und
4 m hoch.
Berechne das Verhältnis der Rauminhalte!
V
:
V1
=
(l
∙ b
∙ h)
:
(l1
∙ b1
∙ h1)
V
:
V1
=
(30
∙ 24 ∙ 4) :
(6
∙ 4
∙ 3)
V
:
V1
=
2 880
:
72
V : V1 = 360 : 9 / : 9
V : V1 = 40 : 1
Im Angabenbuch steht:
Berechne den Schnittpunkt beider Geraden!
I.
2 x – y
= - 1
II. 3 x + y = 6
Im Lösungsbuch steht:
Berechne den Schnittpunkt beider Geraden!
I. 2 x – y
= - 1
I.
2 x
– y
=
-
1
II. 3
x + y
=
6 addiere
beide Gleichungen
2
∙
1
– y
=
-
1
5 x
=
5
/ : 5
2
– y =
-
1
x
=
1
2 + 1
= y
3 =
y
L = {(1 / 3)}
Der Schnittpunkt beider Geraden liegt bei S (1 / 3).
Probe:
I.
2
∙
1 –
3
=
-
1
II.
3
∙
1 +
3 =
6
2 - 3 = - 1 3 + 3 = 6
- 1 = - 1 6 = 6
Im Angabenbuch steht:
Rechne! Mache
bei folgendem Beispiel auch die Probe:
x = 3
200
x – {35 y
– [5 x –
(8 y –
x)]}
=
Im Lösungsbuch steht:
Rechne!
Mache bei folgendem Beispiel auch die Probe:
x = 3
Bei der Probe setzt du die angegebene Zahl für x und y in den Anfangsterm (AT)
und in den Endterm (ET) ein!
Stimmt das Ergebnis überein, stimmt auch deine Rechnung!
Stimmt das Ergebnis nicht überein, hast du leider falsch gerechnet.
Probiere es noch einmal!
Zuerst wird die runde Klammer „aufgelöst“, dann die eckige, dann die geschwungene.
Fasse zuerst gleiche Terme in der Klammer zusammen und löse dann die Klammer auf.
s) 200 x – {35 y – [5 x – (8 y – x)]} =
= 200 x
–
{35 y
– [5 x
- 8 y
+ x ]} =
= 200 x
–
{35 y
-
[
6 x -
8 y ]}
=
= 200 x - {35 y - 6 x + 8 y } =
=
200 x
- {43 y -
6 x} =
200 x – 43 y
+
6 x =
206 x
– 43 y
Probe:
AT :
200
∙
3
– {35
∙
2
–
[5
∙
3
–
(8
∙
2
– 3)]}
=
=
600 -
{ 70
-
[ 15
- ( 16
-
3)]}
=
=
600 -
{
70
-
[ 15
- (
+ 13 )
]}
=
=
600 -
{
70
–
[ 15
–
13
]}
=
=
600 -
{
70
-
[ + 2 ]}
= 600
–
{70 –
2}
= 600
–
68
=
532
ET :
206 ∙
3 –
43 ∙
2
=
618
- 86
= 532
Im Angabenbuch steht:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe aus der
20,8² - 19,2² = 432,64 - 368,64 = 64
Die
Kathete a ist 19,2 cm lang,
die Kathete b ist 8
cm lang und
die Hypotenuse ist 20,8 cm lang.
Stelle die Funktionsgleichung auf!
Die Gerade g ist
durch 2 Punkte A (2 / 7) , B (6 / 11) festgelegt.
Stelle die Funktionsgleichung auf!
Die Gerade
g ist durch 2 Punkte
A (2 / 7) , B (6 / 11)
festgelegt.
Beachte:
Die Variablen sind nicht x
und y,
sondern k und
d.
Du setzt
nun die beiden bekannten Wertepaare für
(x/y), nämlich (2/7) und
(6/11) in die
Funktionsgleichung ein und rechnest dir
k und
d aus.
4 = 4 • k / : 4 7 = 2 + d / - 2
1 = k 7 – 2 = d
5
= d
Vergiss nicht %, Gehalt,
Säuregehalt, Alkoholgehalt,....in hundertstel zu rechnen.
Menge in Liter Alkohol in % Menge mal Prozentgehalt
Alkohol 30 0,96 30 • 0,96 = 28,80
Alkohol 18 0,72 18 • 0,72 = 12,96
Mischung
48
x
48
•
x
=
41,76
Gleichung: 30
•
0,96
+
18
•
0,72 =
48
x
28,8
+
12,96
=
48
x
41,76 = 48 x / : 48
Wie
verhalten sich ihre Oberflächen und ihre Volumina?
r1
: r2
= 3
:
4
r1 =
3 t
r2
= 4 t
O1 :
O2 =
4
• (3 t)²
•
p :
4
• (4 t)²
•
p
/ : 4
•
p
O1 : O2 = 9 t² : 16 t² / : t
O1
:
O2 =
9
:
16
V1
: V2
= 4
• (3 t)³
•
p
: 4
• (4 t)³
•
p
/ : 4
p
3
3
3
V1
: V2
=
27 t³
:
64 t³
/ : t³
V1
:
V2
=
27
:
64
Die Oberflächen verhalten sich wie 9
: 16,
die Volumina verhalten sich wie 27
:
64.
1.
Ad
Adieren und Subtrahieren von einfachen Termen
und Potenztermen
(Addiere bzw. Subtrahiere alle
gleichen Terme!)
6 a + 5 b – (4 a – 6 b) =
25 – ( 3 a + 7 b – 5 c) =
a) 9 y³ + 3 y² - 4 y + 5 y³ + 6 y² + 9 y =
b) 14 a² + a – 8 + 25 a² + 38 – 4 a =
Addieren und Subtrahieren von einfachen Termen
und Potenztermen
(Addiere bzw. Subtrahiere alle
gleichen Terme!)
6 a + 5 b – (4 a – 6 b) = 6 a + 5 b
– 4 a + 6 b =
2 a + 11 b
25 – ( 3 a + 7 b – 5 c) =
25 – 3 a – 7 b + 5 c
a)
9 y³ + 3 y² - 4 y + 5 y³ + 6 y² + 9 y
=
14 y³ + 9 y² + 5 y
b)
14 a² + a – 8 + 25 a² + 38 – 4 a =
39
a² - 3 a + 30
Die Winkel in einem Dreieck verhalten sich wie 1 : 3 : 6
Berechne die Größe der drei Winkel!
Die Winkel in einem Dreieck verhalten sich wie 1 : 3 : 6
Berechne die Größe der drei Winkel!
α : β : γ = 1 : 3 : 6
α + β + γ entspricht 10 t: → 18° • 10 = 180°
α + β + γ
= 180
10 t = 180° / : 10
t
= 18°
Der Winkel α beträgt 18°, der Winkel β beträgt 54°,
der Winkel γ beträgt 108°.
Die Oberfläche eines Quaders beträgt 2 272 cm2.
Die Seitenlängen verhalten sich wie a : b : h = 3 : 5 : 7
Berechne das
Volumen des Quaders.
Im Lösungsbuch steht:
Die Oberfläche eines Quaders beträgt 2 272 cm2.
Die Seitenlängen verhalten sich wie a : b : h = 3 : 5 : 7
Berechne das
Volumen des Quaders.
b = 5 ∙
4 cm
=
20 cm
h = 7 ∙
4 cm =
28 cm
O =
2 ∙ (a ∙ b
+
a ∙ h
+
b ∙ h)
V =
G ∙ h
O =
2 ∙ (3k ∙ 5k + 3k ∙ 7k + 5k ∙ 7k)
V =
a ∙ b ∙ h
O =
2 ∙ (15k2
+
21k2
+
35k2)
V
=
12 ∙ 20 ∙ 28
2 272
=
2 ∙ 71k2
V
=
6 720
cm3
2 272 = 142k2 /: 142
Im Angabenbuch steht:
Gib die Lösungsmenge an!
G1 =
N
G2 =
Z
5
•
(2x + 4) +
(2x – 3)
•
(2x + 3)
= (2x - 1)²
- 4
10x + 20
+
4x² -
9
=
4x² - 4x + 1 - 4
4x² fällt weg!
10x +
11 =
- 4x - 3
10x + 4x
= - 3
–
11
14x
= - 14
/ : 14
x
= - 1
L1 =
{ }
L2 =
{ - 1 }