Mathematik
Übungsprogramm ~ Brigitte Körber, Liechtensteinstrasse 47 ~ 2344 Maria
Enzersdorf ~ brigitte.koerber@aon.at
7. Schulstufe (3. Klasse AHS, MS)
I N H A L T S V E R Z E I C H N I S
1.
WIEDERHOLUNG
a) mit
Dezimalzahlen
b) mit Bruchzahlen
c) Periodische Dezimalzahlen
3. ÄHNLICHKEIT - VERHÄLTNISSE UND PROPORTIONEN
Teilen einer Strecke - Strahlensatz, Ähnliche Dreiecke
Vergrößern und Verkleinern von Figuren
Verhältnisgleichungen und vermischte
Aufgaben
5. 5. DIE ZINSENRECHNUNG
Vermischte
Aufgaben
6. DIE POTENZSCHREIBWEISE
Rechnen mit Quadratwurzeln
8. FLÄCHENBERECHNUNGEN und VERMISCHTE AUFGABEN
1. Der Flächeninhalt des Dreiecks
2. Der Flächeninhalt des Parallelogramms
3. Der Flächeninhalt des Trapezes
4. Der Flächeninhalt des Rhombus (der Raute)
5. Der Flächeninhalt des Deltoids
6. Der Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
7. Der Flächeninhalt von Vielecken
10. ARBEITEN MIT TERMEN
a) Grundbegriffe der
Termrechnung
b) Addieren, Subtrahieren,
Multiplizieren und Dividieren
Vermischte
Aufgaben
12. UMFORMEN VON FORMELN
13. DAS
PRISMA
Vermischte Aufgaben
14. DIE PYRAMIDE
Vermischte Aufgaben
15.
STATISTIK:
Mittelwert (Arithmetisches Mittel), Median, Modus, Spannweite
Absolute, relative
und prozentuelle Häufigkeiten ermitteln und darstellen
Diagramme:
Säulendiagramm, Balkendiagramm,
Kreisdiagramm
16. VIELE BEISPIELE FÜR SCHULARBEITEN
Vermischte Aufgaben, Rechengesetze mit Brüchen,
Doppelbruch, Gleichungen mit Termen und Klammern,
Pythagoräischer Lehrsatz, Flächenberechnungen, Körperberechnungen,
Prozentrechnungen, Zinsenrechnungen, Mischungsaufgaben,
Bewegungsaufgaben,
Geschwindigkeitsaufgaben, Ähnlichkeit,…
Hier ein kleiner Auszug aus dem Angaben - und Lösungsbuch
Hier sind nur die Übungsbeispiele mit Rechengang angegeben.
Die Einführungsbeispiele - wie in einer Unterrichtsstunde erklärt sind im Lösungsbuch unter "Erklärung" zu finden.
Im Angabenbuch steht:
Rechne!
Mache
auch die Probe:
x = 3,
y = 4
3x3 + (x2 – x2y) • y – (x – y2) • x2 =
Im Lösungsbuch steht:
Rechne!
Mache auch die Probe:
x = 3,
y = 4
3x3
+ (x2
– x2y)
•
y – (x – y2)
•
x2
=
=
3x3
+ x2y
– x2y2
-
x3
+ x2y2
=
2x3
+ x2y
= 81 + (9 - 36) ∙ 4 - (-13) ∙ 9 =
= 81 + (- 27) ∙ 4 + 117 =
= 81 - 108 + 117 = 90
T(E): 2 ∙ 27 + 9 ∙ 4 = 54 + 36 = 90
Im Lösungsbuch steht:
Rechne! Mache auch die Probe: x = 2
(3 x – 1)² - (4 x – 2)² =
(3 x – 1)² - (4 x – 2)² = 9 x² - 6 x + 1 – (16 x² - 16 x + 4) =
= 9 x² - 6 x + 1 –
16 x² + 16 x – 4
=
(Fasse gleiche
=
- 7 x²
+ 10 x
– 3
Probe :
AT :
(3
•
2
– 1)²
- (4
•
2 –
2)²
=
=
( 6
- 1)²
- (
8 -
2)² =
=
5²
-
6²
=
=
25
-
36
=
- 11
ET : ( - 7)
•
2²
+ 10
•
2
-
3
= ( - 7)
•
4 +
20 -
3
=
=
- 28 +
20 –
3
=
- 11
Im Angabenbuch steht:
(x –
4)
• (x + 4) +
2x + 2 = (x +
3)
∙ (x -
3) + x
- 3
Mache auch die Probe!
Im Lösungsbuch
steht:
Mache
auch die Probe!
(x
– 4)
∙ (x + 4)
+
2x
+
2
=
(x
+
3)
∙ (x
-
3)
+
x
-
3
x²
-
16
+
2x
+
2
=
x²
-
9
+
x
- 3 (x² fällt weg!)
2x
-
14
= x
-
12
2x
-
x
=
-12
+
14
x = 2
Probe:
(2
-
4)
∙
(2
+
4)
+
2
∙
2
+
2
=
(2
+
3)
∙
(2
-
3)
+
2
-
3
(-2)
∙
6
+
4 +
2
= 5
∙
(-1) +
2
-
3
-12
+
4
+
2
=
(-5)
+
2
-
3
- 6 = - 6
Im Angabenbuch steht:
Die Zehnerziffer einer zweistelligen Zahl ist um 4 kleiner als
Werden die Ziffern vertauscht, so entsteht eine
Wie heißt die ursprüngliche Zahl? Wie heißt die neue Zahl?
Im Lösungsbuch steht:
Die Zehnerziffer einer zweistelligen Zahl ist um 4 kleiner als
Wie heißt die ursprüngliche Zahl? Wie heißt die neue Zahl?
∙10
Z E Zahl Probe:
urspr. Z. x
– 4 x
10
∙
(x - 4) + x
= 10x – 40 + x = 11x - 40 48
neue Zahl
x
x – 4
10
∙
x + (x – 4) = 10x + x – 4 = 11x - 4 84
ursprüngliche Zahl: neue Zahl:
(11 x – 40) ∙2 = 11 x – 4 + 12
22 x – 80
=
11 x – 4 + 12
22 x – 11 x = – 4 + 12
11 x =
88
x = 8
Die ursprüngliche Zahl heißt 48, die neue Zahl heißt 84.
Im Angabenbuch steht:
Andi borgt sich 115,60 € bei seinem Freund aus.
Er zahlt ihm ein paar
Wie viel ist er seinem Freund noch schuldig? Schreibe die Rechnung auf!
Im Lösungsbuch steht:
Andi borgt sich 115,60 € bei seinem Freund aus.
Er zahlt ihm ein paar
Wie viel ist er seinem Freund noch schuldig? Schreibe die Rechnung auf!
(-
115,60) +
3 ∙ (+ 14,40)
=
- 115,60 + 43,20 = - 72,40
Andi ist seinem Freund noch 72,40 € schuldig.
Im Angabenbuch steht:
In ei
In einem 9 m x 6 m großen Zimmer wird der Boden mit rautenförmigen Fliesen
verlegt.
Die Diagonalen der Fliesen
sind 50 cm und 25 cm lang.
a)
a)
Wie viele Fliesen werden für das Zimmer mindestens benötigt?
b) b) Wie viel kosten die Fliesen, wenn man mit 9% Verschnitt rechnet und eine
Fliese 4,80 € kostet? Mache eine Skizze!
In ei Im Lösungsbuch steht:
In ei
In einem 9 m x 6 m großen Zimmer wird der Boden mit rautenförmigen Fliesen
verlegt.
Die Diagonalen der Fliesen sind 50
cm und 25 cm lang.
a)
a)
Wie
viele Fliesen werden für das Zimmer mindestens benötigt?
ie b) Wie viel kosten die Fliesen, wenn man mit 9% Verschnitt rechnet und eine
4,
Fliese 4,80 € kostet? Mache eine Skizze!
a) a) Du rechnest dir zuesrt den Flächeninhalt des Zimmers aus und dann den Flächeninhalt
einer Fliese.
Zimmer:
Fliese:
A1
= 9 ∙
6
A2
=
50 ∙ 25 : 2
A1
= 54 m2
Der Flächeninhalt einer Fliese beträgt 625 cm2.
Daher
rechnest du: A1
:
A2
Du
musst auf gleiche Benennung achten: 54 m2 = 540 000 cm2
Man
benötigt mindestens 864 Fliesen.
b)
Verschnitt: 9%: 864
∙ 1,09
= 941,76
≈
942
Im Angabenbuch steht:
Addition mit ganzen Zahlen
(Achte auf die Vorzeichen!)
(-6) + (-9) + (-12) + (-14) + (-30) =
Im Lösungsbuch
steht:
Addition mit ganzen Zahlen
(Achte auf die Vorzeichen!)
(-6)
+ (-9)
+ (-12)
+ (-14) +
(-30) =
- 71
-6
- 9
-
12
-
14
-
30
=
- 71
(die „Schulden“ (minus Zahlen)
werden addiert!)
Denke
dir:
das +
ist „Guthaben“
Denke
dir:
das
– sind
„Schulden“
Im Angabenbuch steht:
Ordne die Zahlen der Größe nach!
Beginne mit der
kleinsten Zahl!
+ 16 ; - 4 ; + 15 ; 0 ; - 1 002 ; - 1 000 , - 1 001
Im Lösungsbuch
steht:
Ordne die Zahlen der Größe nach!
Beginne mit der
kleinsten Zahl!
Überlege
+ 16 ;
- 4 ;
+ 15 ; 0 ;
- 1 002 ;
- 1 000 ,
- 1 001
- 1 002 < - 1 001 < - 1 000 < - 4 < 0 < + 15 < + 16
a) 1 500 : (-30) – (+4) • (-5) =
b) (-14) • (-3) – (+16) : (-4) =
a)
a) 1 500 : (-30) – (+4) • (-5) = - 30
b) (-14)
•
(-3) – (+16) : (-4) =
+ 46
a)
Benenne die Art des Terms und berechne für x = 3 und y = - 2 den Wert des Terms:b) Verfünffache die Summe von a und b
a)
Benenne die Art des Terms und berechne für x = 3 und y = - 2 den Wert des Terms: 3x2 – 4y
Art: Binom
Wert:
3x2 – 4y =
3
∙
32 –
4
∙
(-
2)
= 3
∙
9
+ 8
= 27 + 8
=
35
(a + b) ∙ 5
K0 = 1 000 €
p = 2% p.a.
Im Lösungsbuch steht:
K0 = 1 000 € pnetto = p ∙ 0,75
P = 2% p.a. pnetto = 2% ∙ 0,75 = 1,5
Die Nettozinsen betragen 15 €.
Im Angabenbuch steht:
Von einem Viereck kennt man die Länge der Seite a = 7 cm und den Flächeninhalt A = 784 cm².
Von einem ähnlichen Viereck kennt man die entsprechende Seitenlänge a1 = 4 cm.
Berechne den Flächeninhalt des ähnlichen Vierecks!
Im Lösungsbuch steht:
Von einem Viereck kennt man die Länge der Seite a = 7 cm und den Flächeninhalt A = 784 cm².
Von einem ähnlichen Viereck kennt man die entsprechende Seitenlänge a1 = 4 cm.
Berechne den Flächeninhalt des ähnlichen Vierecks!
In jeder (richtigen) Proportion ist das Produkt der Aussenglieder
gleich
dem Produkt
der Innenglieder.
A : A1 = a² : a1²
49
•
A1
=
12 544
/ : 49
A1
=
256
Der Flächeninhalt des ähnlichen Vierecks beträgt 256 cm².
Die Seiten des Quaders
verhalten sich wie 1 : 2 : 5.
Berechne die Seite des Würfels!
l : b : h = 1 : 2 : 5
l = 1k,
b = 2k,
h = 5k
b = 2 cm
∙
2 =
4 cm
h = 5 cm ∙ 2 = 10 cm
V =
l ∙ b ∙ h
V(Würfel) =
V(Quader)
V = 1k ∙ 2k ∙ 5k
a3 =
l ∙ b ∙ h
80 = 10k3
/ : 10
a3 =
2 ∙ 4 ∙ 10
8 = k3
2
= k
a
≈ 4,3 cm
Die
Seitenlänge des Würfels beträgt 4,3 cm.
Ein Denkmal hat eine Gesamthöhe von 3,30 m. Der Sockel ist ein Quader mit
quadratischer
Grundfläche (a = 1,2 m). Auf dem Sockel befindet sich ein pyramidenförmiger
Aufsatz.
Die Höhe des Quaders verhält sich zur Höhe der aufgesetzten Pyramide wie 2 : 1.
Berechne das Volumen und die Masse. Das Denkmal ist aus Granit (Dichte 2,4 kg/dm3).
Mache eine Skizze!
Ein Denkmal hat eine Gesamthöhe von 3,30 m. Der Sockel ist ein Quader mit
quadratischer
Grundfläche (a = 1,2 m). Auf dem Sockel befindet sich ein pyramidenförmiger
Aufsatz.
Die Höhe des Quaders verhält sich zur Höhe der aufgesetzten Pyramide wie 2 : 1.
Berechne das Volumen und die Masse. Das Denkmal ist aus Granit (Dichte 2,4 kg/dm3).
Mache eine Skizze!
h1
+
h2 = Gesamthöhe = 3 Teile = 3 t =
3,30 m
h(Quader) : h(Pyramide) = 2 : 1
h2(Quader) = 2 Teile
h1(Pyramide) = 1 Teil
3 t = 3,30 m
1 t = 3,30 m : 3 = 1,1 m
2 t = 1,1 m • 2 = 2,2 m
VQuader
=
G
•
h2
VPyramide
=
G
•
h1
: 3
V = 3,168 m3
V = 0,528 m3
V = VQuader + VPyramide = 3,168 m3 + 0,528 m3 = 3,696 m3 = 3 696 dm3
m =
V
• 𝝆
= 3 696 dm3
•
2,4 =
8 870,4 kg =
8,8704 t
Das Volumen des Denkmals beträgt 3,696 m3, die Masse ist 8,8704 t.
Für eine
Ware bezahlt man inklusive Mehrwertsteuer 1 460
€.
(MwSt.
= 20%)
Wie teuer ist die Ware ohne
Mehrwertsteuer?
Für eine
Ware bezahlt man inklusive Mehrwertsteuer 1 460
€.
(MwSt.
= 20%)
Wie teuer ist die Ware ohne
Mehrwertsteuer?
120 % .
. . . . . . . . . . 1 460 €
Ware ohne Mehrwertsteuer
= 100%
100 % .
. . . . . . . . . . . . . .x €
Ware mit Mehrwertsteuer
=
120%
x
= 1 460
∙
100 : 120 =
1 216,666.. ≈
1 216,67
Die Ware
kostet ohne Mehrwertsteuer 1 216,67 €.
Herausheben gemeinsamer Faktoren
5 a4 + 10 a³ =
16 x³ y² - 24 xy =
Herausheben gemeinsamer Faktoren
5 a4 + 10 a³
=
5 a³ (a
+
2)
16 x³ y² - 24 xy
=
8 xy (2 x²y
–
3)
Rechne!
24a3
:
(-
4a) +
6 a2
-
3a4
:
(- a)2
+
(3a)2
-
a3
: a
=
Im
Lösungsbuch steht:
Rechne!
=
-
6a2
+
6a2
-
3a2
+
9a2
-
a2
=
5a2
Im Angabenbuch
steht:
Im
Lösungsbuch steht:
a)
Benenne die Art des Terms und berechne für x = 3 und y = - 2 den Wert des Terms:
Art: Binom
Wert: 3x2 – 4y = 3 ∙ 32 – 4 ∙ (- 2) = 3 ∙ 9 + 8 = 27 + 8 = 35
b) Verfünffache die Summe von a und b
(a + b)
∙
5
Im Angabenbuch
steht:
m)
Jemand
hat 786 € Schulden. Nach einiger Zeit kommen noch 324 € Schulden dazu.
a)
a) Wie hoch ist der Schuldenstand?
Schreibe die Rechnung auf!
b) b) Wie hoch ist der Schuldenstand, wenn er nach einiger Zeit 485 € zurückbezahlt?
Schreibe die Rechnung auf!
Im
Lösungsbuch steht:
a)
Jemand hat 786 € Schulden. Nach einiger Zeit kommen noch 324 € Schulden dazu.
a)
a) Wie hoch ist der Schuldenstand?
Schreibe die Rechnung auf!
b) b) Wie hoch ist der Schuldenstand, wenn er nach einiger Zeit 485 € zurückbezahlt?
Schreibe die Rechnung auf!
a)
a)
(- 786) +
(– 324) =
- 786 -
324 =
- 1 110
Der Der Schuldenstand beträgt 1 110 €.
b)
b) (- 1 110) +
(+ 485) =
- 1 110 +
485 =
- 625
Die Schulden betragen nur mehr 625 €.
Berechne die Grundfläche der Pyramide!
Im Lösungsbuch steht:
Die Oberfläche einer regelmäßigen quadratischen Pyramide beträgt 155 cm², der Mantel ist 1,12 dm².
O = 155
M = 112
cm²
Die Grundfläche beträgt 43 cm².